Question

【题目】若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点．设函数，，a，b，kR．

（1）若为在x＝1处的切线．①当有两个极值点，，且满足·＝1时，求b的值及a的取值范围；②当函数与的图象只有一个交点，求a的值；

（2）若对满足“函数与的图象总有三个交点P，Q，R”的任意突数k，都有PQ＝QR成立，求a，b，k满足的条件．

Answer 1

【答案】（1）①，或. ②. （2）与.

【解析】

(1) ①根据极值点定义以及韦达定理求得，根据判别式大于零解得a的取值范围；②根据导数几何意义得 ，解方程 或，再根据题意解得结果，(2)先化简方程 有两个不等实根，，再根据题意得实数根满足，或，或，最后分类讨论，解得a，b，k满足的条件．

解：（1）①由，因函数有两个极值点，

所以两个不等的实数根，

所以，即，又span>，所以，或.

②因为函数在处的切线，

所以，

联立方程组，即，

所以，

整理得，解得或，

因与只有一个交点，所以，解得.

（2）联立方程组，由②得，

即，方程有一根

因与有三个交点，

所以有两个不等实根，

因与有三个交点且满足，

所以实数根满足，或，或，

因为满足与有三个交点的任意实数，

令，则，解得，，

当时，得，，

此时，令，则，

解得，，不满足与，不符题意；

同理也不符题意；

当时，由，得，

此时总满足，

为此只需有两个不等的实根即可，

所以，化简得，

综上所述，应满足条件与.