Question

16．设关于x的方程x²-mx-1=0有两个实根α，β，α＜β，函数f（x）=$\frac{2x-m}{{x}^{2}+1}$．若λ，μ均为正实数，则|f（$\frac{λα+μβ}{λ+μ}$）-f（$\frac{μα+λβ}{λ+μ}$）|（　　）|α-β|

• A． ＞
• B． ＜
• C． ≥
• D． ≤

Answer 1

分析 由已知可知，f（α）=$\frac{1}{α}$，f（β）=$\frac{1}{β}$，αβ=-1，f（x）在区间（α，β）单调递增，进而即可得到结论．

解答 解：：∵α，β是方程x²-mx-1=0的两个根，
∴α+β=m，αβ=-1，
∴f（α）=$\frac{2α-m}{{α}^{2}+1}$=$\frac{2α-（α+β）}{{α}^{2}+αβ}$=$\frac{1}{α}$，
同理f（β）=$\frac{1}{β}$，
∵f′（x）=-$\frac{2（{x}^{2}-mx-1）}{{（x}^{2}+1）^{2}}$=-$\frac{2（x-α）（x-β）}{{{（x}^{2}+1）}^{2}}$，
当x∈（α，β）时，f'（x）＞0，
∴f（x）在（α，β）上单调递增；
∵$\frac{λα+μβ}{λ+μ}$-α=$\frac{μ（β-α）}{λ+μ}$＞0，
同理可证：α＜$\frac{μα+λβ}{λ+μ}$＜β
∴f（α）＜f（$\frac{λα+μβ}{λ+μ}$）＜f（β），f（α）＜f（$\frac{μα+λβ}{λ+μ}$）＜f（β），
∴|f（$\frac{λα+μβ}{λ+μ}$）-f（$\frac{μα+λβ}{λ+μ}$）|＜|f（α）-f（β）|=|$\frac{1}{α}$-$\frac{1}{β}$|=|$\frac{β-α}{αβ}$|=|α-β|，
故选：B

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数的单调性的判断与证明，一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），熟练掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）是解答的关键