Question

8．已知函数f（x）=log₂（x²-2x+1），g（x）=$\left\{\begin{array}{l}x+b，x≤0\\{a^x}-4，x＞0\end{array}$，（其中a＞0）
（1）求函数f（x）的零点；
（2）若函数f（x）与函数g（x）的零点相同，求函数g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用函数的零点与方程的根的关系，化简求解即可．
（2）利用两个函数的零点相同，列出方程组求出a，b，然后求解函数值域即可．

解答 解：（1）由函数f（x）=log₂（x²-2x+1）=0，可得x²-2x+1=1，
解得x=0或x=2，所以函数的零点为：0或2．
（2）由（1）可得：$\left\{\begin{array}{l}{g（0）=b=0}\\{g（2）={a}^{2}-4=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=0}\\{a=±2}\end{array}\right.$，
又a＞0可得a=2，x≤0时，g（x）∈（-∞，0），当x＞0时，g（x）∈（-3，+∞）．
g（x）的值域为：R．

点评 本题考查函数的零点的求法，分段函数的应用，函数的值域的求法，考查计算能力．