Question

18．已知曲线C上的动点P到两定点O（0，0），A（3，0）的距离之比为$\frac{1}{2}$．
（1）求曲线C的方程；
（2）若直线l经过点（0，-2），且直线l交曲线C于A，B两点．以AB为直径的圆能否过坐标原点？若能求出直线l的方程，若不能说明理由．

Answer 1

分析 （1）设P（x，y），由条件运用两点的距离公式，化简整理，即可得到所求轨迹方程；
（2）若以AB为直径的圆能过坐标原点，则直线l的斜率存在，设为k，直线方程为y=kx-2，联立直线方程和与的方程，利用$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$求得k，则答案可求．

解答 解：（1）设P（x，y），由题意可得$\frac{|OP|}{|PA|}=\frac{1}{2}$，
即为2$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=\sqrt{（x-3）^{2}+{y}^{2}}$，
化简可得x²+y²+2x-3=0，
曲线C的方程为圆（x+1）²+y²=4；
（2）如图，若以AB为直径的圆能过坐标原点，则直线l的斜率存在，设为k，直线方程为y=kx-2．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-2}\\{{x}^{2}+{y}^{2}+2x-3=0}\end{array}\right.$，消去y得（1+k²）x²-（4k-2）x+1=0．
△=（4k-2）²-4（1+k²）=4k²-3k＞0，得k＜0或k＞$\frac{3}{4}$．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4k-2}{1+{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{1}{1+{k}^{2}}$，
${y}_{1}{y}_{2}=（k{x}_{1}-2）（k{x}_{2}-2）={k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}-2k（{x}_{1}+{x}_{2}）+4$=$\frac{{k}^{2}}{1+{k}^{2}}-\frac{8{k}^{2}-4k}{1+{k}^{2}}+4=\frac{-3{k}^{2}+4k+4}{1+{k}^{2}}$．
若以AB为直径的圆能否过坐标原点，则x₁x₂+y₁y₂=$\frac{1}{1+{k}^{2}}+\frac{-3{k}^{2}+4k+4}{1+{k}^{2}}=\frac{-3{k}^{2}+4k+5}{1+{k}^{2}}=0$．
即3k²-4k-5=0，解得${k}_{1}=\frac{2-\sqrt{19}}{3}$，或${k}_{2}=\frac{2+\sqrt{19}}{3}$．
∴以AB为直径的圆能过坐标原点，此时直线l的方程为$y=\frac{2-\sqrt{19}}{3}x-2$或$y=\frac{2+\sqrt{19}}{3}x-2$．

点评 本题考查曲线方程的求法，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，是中档题．