Question

14．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）（0＜φ＜π）为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$．
（1）当x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{4}$）时，求f（x）的单调递减区间；
（2）将函数y=f（x）的图象沿x轴正方向向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度，再把横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，当x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{6}$]时，求函数g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，正弦函数的单调性，求得f（x）的单调递减区间．
（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得当x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{6}$]时，函数g（x）的值域．

解答 解：（1）由题意知，函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ-$\frac{π}{6}$）（0＜φ＜π），
它的图象相邻两对称轴的距离为$\frac{π}{2}$，∴$\frac{2π}{ω}$=2•$\frac{π}{2}$，∴ω=2，
又∵f（x）为奇函数，∴φ-$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，∴φ=$\frac{π}{6}$，f（x）=2sin2x．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{π}{4}$≤x≤kπ+$\frac{3π}{4}$，
∴当x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{4}$）时，f（x）的单调减区间为（-$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{4}$）．
（2）将函数y=f（x）的图象沿x轴正方向向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度，可得y=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）的图象；
再把横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$（纵坐标不变），得到函数y=g（x）=2sin（4x-$\frac{π}{3}$）的图象．
当x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{6}$]时，4x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，∴sin（4x-$\frac{π}{3}$）∈[-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，2sin（4x-$\frac{π}{3}$）∈[-2，$\sqrt{3}$]，
∴函数g（x）的值域为[-2，$\sqrt{3}$]．

点评 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性、定义域和值域，属于中档题．