Question

2．已知命题p：?x∈R，kx²+1≤0，命题q：?x∈R，x²+2kx+1＞0．
（1）当k=3时，写出命题p的否定，并判断真假；
（2）当p∨q为假命题时，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当k=3时，命题p的否定￢p：?x∈R，3x²+1＞0，利用二次函数的单调性或实数的性质即可判断出真假．
（2）当p∨q为假命题时，p与q都为假命题，可得￢p：?x∈R，kx²+1＞0，是真命题，￢q：?x∈R，x²+2kx+1≤0，是真命题．即可得出．

解答 解：命题p：?x∈R，kx²+1≤0，命题q：?x∈R，x²+2kx+1＞0．
（1）当k=3时，命题p的否定￢p：?x∈R，3x²+1＞0，是真命题．
（2）当p∨q为假命题时，p与q都为假命题，
∴￢p：?x∈R，kx²+1＞0，是真命题，￢q：?x∈R，x²+2kx+1≤0，是真命题．
∴$\left\{\begin{array}{l}{k＞0}\\{△=0-4k＜0}\end{array}\right.$，或k=0，1＞0；且△=4k²-4≥0，
解得k≥1．
∴实数k的取值范围是[1，+∞）．

点评 本题考查了二次函数的性质、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．