Question

10．平面直角坐标系xOy中，与圆F₁：（x+1）²+y²=1和圆F₂：（x-1）²+y²=25都内切的动圆圆心的轨迹记为C，点M（x₀，y₀）为轨迹C上任意一点；在直线l：y=3上任取一点P向轨迹C引切线，切点为A、B．
（1）求动圆圆心轨迹C的方程，并求以M（x₀，y₀）为切点的C的切线方程；
（2）证明：直线AB过定点H，并求出H的坐标；
（3）过（2）中的定点H作直线AB的垂线交l于点T，求$\frac{|TH|}{|AB|}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出F₁（-1，0），r₁=1，F₂（1，0），r₂=5，从而|MF₁|+|MF₂|=4，由椭圆定义能求出动圆圆心轨迹C的方程；设以M（x₀，y₀）为切点的切线方程为y=kx+m，且满足y₀-kx₀=m，（*），切线方程与椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1联立，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，由相切，得：m²=3+4k²，从而得到k=-$\frac{3{x}_{0}}{4{y}_{0}}$，由此能求出以M（x₀，y₀）为切点的C的切线方程．
（2）设切点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），切线PA、PB的方程分别为$\frac{{x}_{1}x}{4}+\frac{{y}_{1}y}{3}=1$，$\frac{{x}_{2}x}{4}+\frac{{y}_{2}y}{3}$=1，都过P（m，n），得到直线AB的方程为$\frac{mx}{4}+\frac{nx}{3}$=1，且n=3，由此能证明直线AB过定点H（0，1）．
（3）设直线AB的方程为y=k₁x+1，与椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$联立，得：（3+4k₁²）x²+8k₁x-8=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、基本不等式，结合已知条件能求出$\frac{|TH|}{|AB|}$的取值范围．

解答 解：（1）∵与圆F₁：（x+1）²+y²=1和圆F₂：（x-1）²+y²=25都内切的动圆圆心的轨迹记为C，点M（x₀，y₀）为轨迹C上任意一点，
∴圆M与两圆都内切，F₁（-1，0），r₁=1，F₂（1，0），r₂=5，
∴|MF₁|+|MF₂|=4，
由椭圆定义得动圆圆心轨迹C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
设以M（x₀，y₀）为切点的切线方程为y=kx+m，且满足y₀-kx₀=m，（*），
切线方程与椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1联立，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
∵相切，∴△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）=0，整理，得：m²=3+4k²，
将（*）代入，得：（y₀-kx₀）²=3+4k²，∴（${{x}_{0}}^{2}-4$）k²-2x₀y₀k+${{y}_{0}}^{2}$-3=0，
解得k=-$\frac{3{x}_{0}}{4{y}_{0}}$，∴y-y₀=-$\frac{3{x}_{0}}{4{y}_{0}}$（x-x₀），
整理，得：$\frac{{x}_{0}x}{4}+\frac{{y}_{0}y}{3}=1$．
当斜率不存在时，上式也成立，
∴以M（x₀，y₀）为切点的C的切线方程为：$\frac{{x}_{0}x}{4}+\frac{{y}_{0}y}{3}=1$．
证明：（2）设切点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），切线PA、PB的方程分别为
$\frac{{x}_{1}x}{4}+\frac{{y}_{1}y}{3}=1$，$\frac{{x}_{2}x}{4}+\frac{{y}_{2}y}{3}$=1，
都过P（m，n），∴$\frac{{x}_{1}m}{4}+\frac{{y}_{1}n}{4}=1$，$\frac{{x}_{2}m}{4}+\frac{{y}_{2}n}{3}$=1，
∴直线AB的方程为$\frac{mx}{4}+\frac{nx}{3}$=1，且n=3，即方程为：y=-$\frac{m}{4}x+1$，
∴直线AB过定点H（0，1）．
解：（3）设直线AB的方程为y=k₁x+1，
与椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$联立，得：（3+4k₁²）x²+8k₁x-8=0，
$△=96（2{{k}_{1}}^{2}+1）$＞0，${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8{k}_{1}}{3+4{{k}_{1}}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=-\frac{8}{3+4{{k}_{1}}^{2}}$，
直线AB的垂线方程为$y=-\frac{1}{{k}_{1}}x+1，（{k}_{1}≠0）$，T（-2k₁，3），
|TH|=$\sqrt{4+4{{k}_{1}}^{2}}$，|AB|=$\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}$•$\sqrt{（-\frac{8{k}_{1}}{3+4{{k}_{1}}^{2}}）^{2}+4×\frac{8}{3+4{{k}_{1}}^{2}}}$=$\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}$•$\frac{\sqrt{96（2{{k}_{1}}^{2}+1）}}{3+4{{k}_{1}}^{2}}$，
∴$\frac{|TH|}{|AB|}$=$\frac{1}{2\sqrt{6}}$•$\frac{3+4{k}^{2}}{\sqrt{2{{k}_{1}}^{2}+1}}$=$\frac{1}{2\sqrt{6}}•\frac{2（2{{k}_{1}}^{2}+1）+1}{\sqrt{2{{k}_{1}}^{2}+1}}$=$\frac{1}{2\sqrt{6}}（2\sqrt{2{{k}_{1}}^{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{2{{k}_{1}}^{2}}+1}）$≥$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
当k₁=0时，最小值为$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴$\frac{|TH|}{|AB|}$的取值范围是[$\frac{\sqrt{6}}{4}$，+∞）．

点评 本题考查圆、椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、弦长公式、基本不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．