Question

5．已知函数f（x）=x²-1，g（x）=|x-1|．
（I）若a=1，求函数y=|f（x）|-g（x）的零点；
（II）若a＜0时，求G（x）=f（x）+g（x）在[0，2]上的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）函数的零点就是方程的解，解方程即可；
（Ⅱ）G（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+ax-a-1，x∈[1，2]}\\{{x}^{2}-ax+a-1，x∈[0，1）}\end{array}\right.$，分别根据函数的单调性，分类讨论即可求出G（x）_max．

解答 解：（Ⅰ）令y=0，得|x-1|（|x+1|-1）=0，解得x=-2或x=0，或x=1．
∴函数y=|f（x）|-g（x）的零点为-2，0，1；
（Ⅱ）由题意得G（x）=f（x）+g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+ax-a-1，x∈[1，2]}\\{{x}^{2}-ax+a-1，x∈[0，1）}\end{array}\right.$，
此时在[0，1）上G（x）单调递增，故而G（x）＜G（1）=0，
在区间[1，2）上，G（x）_max=max{G（1），G（2）}，
若-$\frac{a}{2}$≤$\frac{3}{2}$，即-3≤a＜0，∴G（1）≤G（2），
∴G（x）_max=G（2）=a+3≥0，
若-$\frac{a}{2}$＞$\frac{3}{2}$，即a＜-3，∴G（1）＞G（2），
∴G（x）_max=G（1）=0，
综上所述G（x）_max=$\left\{\begin{array}{l}{a+3，a∈[-3，0）}\\{0，a∈（-∞，-3）}\end{array}\right.$

点评 本题考查了分段函数，绝对值函数，函数的零点，以及函数最值的问题，属于中档题．