Question

【题目】 =（3 sinx， cosx）， =（cosx， cosx），f （x）= ．
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）x∈[﹣ ， ]时，g（x）=f（x）+m的最大值为 ，求g（x）的最小值及相应的x值．

Answer 1

【答案】
（1）解： =（3 sinx， cosx）， =（cosx， cosx），

∴f （x）=

=3 sinxcosx+3cos2x

= sin2x+

=3sin（2x+ ）+ ；

令 +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ，k∈Z，

解得 +kπ≤x≤ +kπ，k∈Z，

∴f（x）的单调递减区间是[ +kπ， +kπ]，k∈Z

（2）解：x∈[﹣ ， ]时，2x+ ∈[﹣ ， ]，

sin（2x+ ）∈[﹣1，1]，

∴3sin（2x+ ）+ ∈[﹣ ， ]；

∴f（x）的值域是[﹣ ， ]，

∴g（x）=f（x）+m的最大值为 +m= ，

解得m=1，

∴g（x）=f（x）+1；

∴g（x）的最小值为﹣ +1=﹣ ，

此时x=﹣ ．

【解析】（1）根据平面向量的数量积计算并化简f （x），求出f（x）的单调递减区间；（2）根据x的取值范围，求出f（x）的值域，再根据g（x）的最大值求出m，从而求出g（x）的最小值与对应x的值．