【题目】已知函数.
(Ⅰ)若,求曲线
在点
处的切线方程;
(Ⅱ)若,求函数
的单调区间;
(Ⅲ)若,求证:
.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
;(Ⅲ)证明见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)求出求出
的值可得切点坐标,求出
的值,可得切线斜率,利用点斜式可得曲线
在点
处的切线方程;(Ⅱ)在定义域内,分别令
求得
的范围,可得函数
增区间,
求得
的范围,可得函数
的减区间;(Ⅲ)
,等价于
,等价于
,设
,只须证
成立,利用导数研究函数的单调性,利用单调性求出
的最小值,证明最小值大于零即可得结论.
试题解析:(Ⅰ)若,则
,
,
所以在点
处的切线方程为
.
(Ⅱ)
令,则
.
令,得
(依题意
)
由,得
;由
,得
.
所以, 在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,所以,
因为,所以
.
所以,即
.
所以函数的单调递增区间为
.
(Ⅲ)由,等价于
,
等价于.
设,只须证
成立.
因为
由,得
有异号两根.
令其正根为,则
.
在上
,在
上
则的最小值为
又
所以则
因此即
所以
.所以
.
【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性、证明不等式,属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是:(1)求出在
处的导数,即
在点
出的切线斜率(当曲线
在
处的切线与
轴平行时,在 处导数不存在,切线方程为
);(2)由点斜式求得切线方程
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知平面内动点到两定点
和
的距离之和为4.
(Ⅰ)求动点的轨迹
的方程;
(Ⅱ)已知直线和
的倾斜角均为
,直线
过坐标原点
且与曲线
相交于
,
两点,直线
过点
且与曲线
是交于
,
两点,求证:对任意
,
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( )
A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏
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【题目】给定点,若
是直线
上位于第一象限内的一点,直线
与
轴的正半轴相交于点
.试探究:
的面积是否具有最小值?若有,求出点
的坐标;若没有,则说明理由.若点
为直线
上的任意一点,情况又会怎样呢?
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,曲线的参数方程是
(
为参数)以原点为极点,
轴正半轴为极轴,并取与直角坐标系相同的单位长度,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程是
.
(1)求曲线,
的直角坐标方程;
(2)若、
分别是曲线
和
上的任意点,求
的最小值.
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【题目】提升城市道路通行能力,可为市民提供更多出行便利.我校某研究性学习小组对成都市一中心路段(限行速度为千米/小时)的拥堵情况进行调查统计,通过数据分析发现:该路段的车流速度
(辆/千米)与车流密度
(千米/小时)之间存在如下关系:如果车流密度不超过
该路段畅通无阻(车流速度为限行速度);当车流密度在
时,车流速度是车流密度的一次函数;车流密度一旦达到
该路段交通完全瘫痪(车流速度为零).
(1)求关于
的函数
(2)已知车流量(单位时间内通过的车辆数)等于车流密度与车流速度的乘积,求此路段车流量的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设等比数列的公比为
,其前
项和为
,前
项之积为
,并且满足条件:
,
,
,下列结论中正确的是( )
A. B.
C. 是数列
中的最大值 D. 数列
无最小值
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