Question

命题p：函数y=log₂（x+

a

x

-3）在区间[2，+∞）上是增函数；命题q：y=log₂（ax²-4x+1）函数的值域为R．则p是q成立的（　　）

• A、充分不必要条件
• B、必要不充分条件
• C、充分必要条件
• D、既不充分也不必要条件

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：根据不等式的关系，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．

解答： 解：函数y=log₂（x+

a

x

-3）在区间[2，+∞）上是增函数；则等价为y=x+

a

x

-3在区间[2，+∞）上是增函数，且2+

a

2

-3＞0，此时a＞2．
函数的导数y′=1-

a

x2

≥0恒成立，即a≤x²，
∵x∈[2，+∞），∴x²∈[4，+∞），故a≤4，
∵a＞2，∴2＜a≤4，即p：2＜a≤4，
命题q：若a=0，则y=log₂（-4x+1），满足函数的值域为R，
若a≠0，要使y=log₂（ax²-4x+1）函数的值域为R，则

a＞0 △=16-4a≥0

，即

a＞0 a≤4

，
解得0＜a≤4，
综上0≤a≤4，即q：0≤a≤4，
∴p是q成立的充分不必要条件，
故选：A

点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数单调性的性质是解决本题的关键．