Question

18．已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax²-3x，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴．
（1）求a的值；
（2）求函数g（x）的极值．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用函数g（x）=lnx+ax²-3x，在点（1，f（1））处的切线平行于x轴直线，求a的值；
（2）利用导数的正负，求函数g（x）的极值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax²-3x，g（x）=lnx+ax²-3x，
∴g′（x）=$\frac{1}{x}$+2ax-3，
∵函数g（x）在点（1，g（1））处的切线平行于x轴，
∴r′（1）=-2+2a=0，
∴a=1；
（2）g′（x）=$\frac{1}{x}$+2x-3（x＞0），
∴由g′（x）＞0可得x＞1或x∈（0，$\frac{1}{2}$），函数的单调增区间为（1，+∞），（0，$\frac{1}{2}$），单调减区间为（$\frac{1}{2}$，1）
x=1时，函数取得极小值g（1）=-2，x=$\frac{1}{2}$时，极大值为：-ln2-$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查满足条件的实数的求法，考查函数的单调区间的求法．解题时要认真题，仔细解答，注意函数的导数、切线方程和单调性等知识点的综合运用．