Question

10．已知函数f（x）=lnx-$\frac{a}{x}$．
（1）若a＞0，证明f（x）在定义域内是增函数；
（2）若f（x）在[1，e]上的最小值为$\frac{3}{2}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，判断导函数的符号，得到函数的单调性即可；
（2）由f（x）=lnx-$\frac{a}{x}$，知f′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$，令f′（x）=0得x=-a，以-a在[1，e]内，左，右分为三类来讨论，函数在[1，e]上的单调性，进而求出最值，求出a的值，由范围来取舍，得出a的值．

解答 解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x+a}{{x}^{2}}$，
由a＞0，得f′（x）＞0，
故f（x）在（0，+∞）递增；
（2）∵f（x）=lnx-$\frac{a}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$，
由f′（x）=0，得x=-a．
令f′（x）＜0得x＜-a，令f′（x）＞0，得x＞-a，
①-a≤1，即a≥-1时，f（x）在[1，e]上单增，
f（x）最小值=f（1）=-a=$\frac{3}{2}$，a=-$\frac{3}{2}$＜-1，不符题意，舍；
②-a≥e，即a≤-e时，f（x）在[1，e]上单减，
f（x）最小值=f（e）=1-$\frac{a}{e}$=$\frac{3}{2}$，a=-$\frac{e}{2}$＞-e，不符题意，舍；
③1＜-a＜e，即-e＜a＜-1时，f（x）在[1，-a]上单减，在[-a，e]上单增，
f（x）最小值=f（-a）=ln（-a）+1=$\frac{3}{2}$，a=-$\sqrt{e}$满足；
综上a=-$\sqrt{e}$．

点评 本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值，要确定函数的单调性，注意分类讨论思想的应用，掌握不等式恒成立时所取的条件．