Question

19．奇函数f（x）定义域为（-π，0）∪（0，π），其导函数为f′（x）．当0＜x＜π时，有f′（x）sinx-f（x）cosx＜0，则关于x的不等式f（x）＜$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）sinx的解集是$（-\frac{π}{4}，0）∪（\frac{π}{4}，π）$．

Answer 1

分析 令g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，x∈（-π，0）∪（0，π），g′（x）=$\frac{{f}^{′}（x）sinx-f（x）cosx}{si{n}^{2}x}$＜0，0＜x＜π．可得函数g（x）在（0，π）上单调递减．奇函数f（x）定义域为（-π，0）∪（0，π），因此函数g（x）为偶函数．x∈（0，π），不等式f（x）＜$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）sinx化为：$\frac{f（x）}{sinx}$＜$\frac{f（\frac{π}{4}）}{sin\frac{π}{4}}$，利用单调性即可解出；x∈（-π，0），不等式f（x）＜$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）sinx化为：$\frac{f（x）}{sinx}$＞$\frac{f（\frac{π}{4}）}{sin\frac{π}{4}}$=$\frac{f（-\frac{π}{4}）}{sin（-\frac{π}{4}）}$，利用单调性即可得出．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，x∈（-π，0）∪（0，π），
g′（x）=$\frac{{f}^{′}（x）sinx-f（x）cosx}{si{n}^{2}x}$＜0，0＜x＜π．
∴函数g（x）在（0，π）上单调递减．
奇函数f（x）定义域为（-π，0）∪（0，π），因此函数g（x）为偶函数．
x∈（0，π），不等式f（x）＜$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）sinx化为：$\frac{f（x）}{sinx}$＜$\frac{f（\frac{π}{4}）}{sin\frac{π}{4}}$，∴π＞$x＞\frac{π}{4}$
x∈（-π，0），不等式f（x）＜$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）sinx化为：$\frac{f（x）}{sinx}$＞$\frac{f（\frac{π}{4}）}{sin\frac{π}{4}}$=$\frac{f（-\frac{π}{4}）}{sin（-\frac{π}{4}）}$，∴$-\frac{π}{4}＜x＜0$．
综上可得：x∈：$（-\frac{π}{4}，0）∪（\frac{π}{4}，π）$．
故答案为：$（-\frac{π}{4}，0）∪（\frac{π}{4}，π）$．

点评 本题考查了构造法、利用导数研究函数的单调性、不等式的解法、函数的奇偶性与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．