Question

（本小题满分12分）已知直线所经过的定点恰好是椭圆的一个焦点,且椭圆上的点到点的最大距离为3.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）已知圆,直线.试证明：当点在椭圆上运动时，直线与圆恒相交，并求直线被圆所截得弦长的取值范围.
（Ⅲ）设直线与椭圆交于两点，若直线交轴于点，且，当变化时，求 的值；   

Answer 1

（1）（2）（3）

（Ⅰ）由得，所以直线过定点（1，0），即.  
设椭圆的方程为,
则,解得，所以椭圆的方程为.  …………3分
（Ⅱ）因为点在椭圆上运动,所以，     
从而圆心到直线的距离

所以直线与圆恒相交.                            ……………………5分
又直线被圆截得的弦长
，       …………6分
由于,所以,则,
即直线被圆截得的弦长的取值范围是.  …………………7分
（3）设


                             …………………………9分
又由 
        同理 ………………………………11分
     ………………………12分