Question

12．已知实数x，y满足x²+y²=9（y≥0）．试求m=$\frac{y+3}{x+1}$及b=2x+y的取值范围．

Answer 1

分析 画出图形，利用表达式的几何意义，求解不等式的范围即可．

解答 解：实数x，y满足x²+y²=9（y≥0）．满足的图形如图：
m=$\frac{y+3}{x+1}$的几何意义是半圆上的点与（-1，-3）连线的斜率，
k_PA=$\frac{0+3}{3+1}$=$\frac{3}{4}$，k_PB=$\frac{0+3}{-3+1}$=$-\frac{3}{2}$
可得m∈[$\frac{3}{4}，+∞$）∪（-∞，$-\frac{3}{2}$]．
b=2x+y，与半圆相切或相交，
可得3=$\frac{|-b|}{\sqrt{5}}$，解得b=3$\sqrt{5}$，直线经过B时b取得最小值：-6．
所以m的范围是[$\frac{3}{4}，+∞$）∪（-∞，$-\frac{3}{2}$]．
b=2x+y的取值范围：[-6，3$\sqrt{5}$]．

点评 本题考查直线与圆的位置关系的应用，简单详细规划的应用，考查计算能力．