Question

3．在三棱锥P-ABC中，△ABC为等边三角形，边长为$\sqrt{3}$，PA⊥面ABC，PA=2$\sqrt{3}$，则此三棱锥的外接球的表面积为（　　）

• A． $\frac{16}{3}π$
• B． $4\sqrt{3}π$
• C． $\frac{32π}{3}$
• D． 16π

Answer 1

分析 由已知结合三棱锥和正三棱柱的几何特征，可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以PA为高的正三棱柱的外接球，分别求出棱锥底面半径r，和球心距d，可得球的半径R，即可求出三棱锥P-ABC外接球的表面积．

解答 解：根据已知中底面△ABC是边长为$\sqrt{3}$的正三角形，PA⊥底面ABC，
可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以PA为高的正三棱柱的外接球
∵△ABC是边长为$\sqrt{3}$的正三角形，
∴△ABC的外接圆半径r=1，
球心到△ABC的外接圆圆心的距离d=$\sqrt{3}$
故球的半径R=2
故三棱锥P-ABC外接球的表面积S=4πR²=16π．
故选D．

点评 本题考查的知识点是球内接多面体，正确求出球的半径R是解答的关键．