Question

11．已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求$\frac{1}{\sqrt{{a}_{1}}+\sqrt{{a}_{2}}}$+$\frac{1}{\sqrt{{a}_{2}}+\sqrt{{a}_{3}}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{{a}_{2016}}+\sqrt{{a}_{2017}}}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁=1，当n≥2时，S_n-1=（n-1）²，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）分母有理化可得$\frac{\sqrt{{a}_{2}}-\sqrt{{a}_{1}}}{{a}_{2}-{a}_{1}}$+$\frac{\sqrt{{a}_{3}}-\sqrt{{a}_{2}}}{{a}_{3}-{a}_{2}}$+…+$\frac{\sqrt{{a}_{2017}}-\sqrt{{a}_{2016}}}{{a}_{2017}-{a}_{2016}}$=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{{a}_{2017}}$-$\sqrt{{a}_{1}}$），代入即可求得答案．

解答 解：（Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁=1，
当n≥2时，S_n-1=（n-1）²，
a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
当n=1时，满足，
∴a_n=2n-1；
（Ⅱ）$\frac{1}{\sqrt{{a}_{1}}+\sqrt{{a}_{2}}}$+$\frac{1}{\sqrt{{a}_{2}}+\sqrt{{a}_{3}}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{{a}_{2016}}+\sqrt{{a}_{2017}}}$，
=$\frac{\sqrt{{a}_{2}}-\sqrt{{a}_{1}}}{{a}_{2}-{a}_{1}}$+$\frac{\sqrt{{a}_{3}}-\sqrt{{a}_{2}}}{{a}_{3}-{a}_{2}}$+…+$\frac{\sqrt{{a}_{2017}}-\sqrt{{a}_{2016}}}{{a}_{2017}-{a}_{2016}}$，
=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{{a}_{2017}}$-$\sqrt{{a}_{1}}$），
=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{4033}$-1）．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查“裂项法”求数列的前n项和，考查转化思想，属于中档题．