Question

20．已知数列{a_n}中，a_n=$\frac{1}{3}$（a_n-1+2a_n-2），（n≥3），其中a₁=1，a₂=2，求通项．

Answer 1

分析 通过对a_n=$\frac{1}{3}$（a_n-1+2a_n-2）（n≥3）变形可构造首项为1、公比为-$\frac{2}{3}$的等比数列{a_n-1-a_n-2}，进而利用累加法求和即得结论．

解答 解：∵a_n=$\frac{1}{3}$（a_n-1+2a_n-2）（n≥3），
∴a_n-a_n-1=-$\frac{2}{3}$（a_n-1-a_n-2），
又∵a₁=1，a₂=2，
∴数列{a_n-1-a_n-2}是首项为1、公比为-$\frac{2}{3}$的等比数列，
∴a_n-a_n-1=$（-\frac{2}{3}）^{n-2}$，
∴当n≥3时，a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+（a_n-2-a_n-3）+…+（a₃-a₂）+（a₂-a₁）+a₁
=$（-\frac{2}{3}）^{n-2}$+$（-\frac{2}{3}）^{n-3}$+…+$（-\frac{2}{3}）^{1}$+$（-\frac{2}{3}）^{0}$+1
=$\frac{1-（-\frac{2}{3}）^{n-1}}{1-（-\frac{2}{3}）}$+1
=$\frac{8}{5}$-$\frac{3}{5}$$（-\frac{2}{3}）^{n-1}$，
又∵a₁=1，a₂=2满足上式，
∴通项公式a_n=$\frac{8}{5}$-$\frac{3}{5}$$（-\frac{2}{3}）^{n-1}$．

点评 本题考查数列的通项，考查累加法求和，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．