Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点（2，0），且椭圆C的离心率为

1

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若动点P在直线x=-1上，过P作直线交椭圆C于M，N两点，且P为线段MN中点，再过P作直线l⊥MN．证明：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）点（2，0）在椭圆上，将其代入椭圆方程，又因为c=

1

2

，解方程组得到a，b，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）点P在直线x=-1上，则可得P（-1，y₂），当直线MN的斜率存在时设斜率为k，得到直线MN中点，根据点P的横坐标解得k，由l⊥MN可得直线l的斜率及其含参数y₃的方程，分析得直线是否恒过定点，注意还要讨论直线MN的斜率不存在的情况．

解答： （Ⅰ）解：∵点（2，0）在椭圆上，
∴

4

a2

+

0

b2

=1，解得a²=4，
∵椭圆C的离心率为

1

2

，∴

c

a

=

1

2

，
∴

a2-b2

a2

=

1

4

，解得b²=3，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）证明：设P（-1，y₀），y0∈(-

3

2

，

3

2

)，
①当直线MN的斜率存在时，
设直线MN的方程为y-y₀=k（x+1），M（x₁，y₁），N（x2 ，y2），
由

x2 4 + y2 3 =1 y-y0=k(x-1)

，
得：(3+4k2)x2+(8ky0+8k2)x+(4y02+8ky0+4k2-12)=0，
∴x1+x2=-

8ky0+8k2

3+4k2

，
∵P为MN中点，∴

x1+x2

2

=-1，即-

8ky0+8k2

3+4k2

=-2，
∴kMN=

3

4y0

(y0≠0)．
∵l⊥⊥MN，∴kl=-

4y0

3

，
∴直线l的方程为y-y0=-

4y0

3

(x+1)，
即y=-

4y0

3

(x+

1

4

)，
∴直线l恒过定点（-

1

4

，0）．
②当直线MN的斜率不存在时，
直线MN的方程为x=-1，
此时直线l为x轴，也过点（-

1

4

，0）．
综上所述，直线l恒过定点（-

1

4

，0）．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线恒过定点的证明，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．