Question

已知正四面体A-BCD的棱长为1，O为底面BCD的中心，则

AB

•

AO

=

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用,空间向量及应用

分析：如图所示建立空间直角坐标系，利用正四面体和等边三角形的性质可得点A，B的坐标，再利用数量积的坐标运算即可得出．

解答： 解：如图所示建立空间直角坐标系，连接BO并延长交DC于E点，则点E为DC的中点．
∵正△BCD的边长=1，∴BE=

3

2

．
∵O为底面BCD的中心，
∴BO=

2

3

BE=

3

3

．∴B(0，-

3

3

，0)．
在Rt△AOB中，AO=

AB2-BO2

=

12-( 3 3 )2

=

6

3

．
∴A(0，0，

6

3

)，
∴

AB

=(0，-

3

3

，-

6

3

)，

AO

=(0，0，-

6

3

)．
∴

AB

•

AO

=0-

6

3

×(-

6

3

)=

2

3

．
故答案为：

2

3

．

点评：本题考查了正四面体、等边三角形的性质、数量积的坐标运算，考查了推理能力和计算能力，属于难题．