Question

13．已知P（a，b）为圆x²+y²=4上任意一点，则$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{{b}^{2}}$最小时，a²的值为（　　）

• A． $\frac{4}{5}$
• B． 2
• C． $\frac{4}{3}$
• D． 3

Answer 1

分析 P（a，b）为圆x²+y²=4上任意一点，可得：a²+b²=4．设a=2cosθ，b=2sinθ．代入$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{{b}^{2}}$=$\frac{1}{4co{s}^{2}θ}$+$\frac{4}{4si{n}^{2}θ}$=$\frac{1}{4}$$（ta{n}^{2}θ+1+4+\frac{4}{ta{n}^{2}θ}）$，利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵P（a，b）为圆x²+y²=4上任意一点，
∴a²+b²=4．
设a=2cosθ，b=2sinθ．
则$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{{b}^{2}}$=$\frac{1}{4co{s}^{2}θ}$+$\frac{4}{4si{n}^{2}θ}$=$\frac{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}{4co{s}^{2}θ}$+$\frac{4（si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ）}{4si{n}^{2}θ}$=$\frac{1}{4}$$（ta{n}^{2}θ+1+4+\frac{4}{ta{n}^{2}θ}）$≥$\frac{1}{4}（2\sqrt{ta{n}^{2}θ•\frac{4}{ta{n}^{2}θ}}+5）$=$\frac{9}{4}$，当且仅当tan²θ=2时取等号，a²=4cos²θ=$\frac{4co{s}^{2}θ}{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}$=$\frac{4}{ta{n}^{2}θ+1}$=$\frac{4}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查了基本不等式的性质、圆的标准方程、三角函数代换，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．