Question

11．函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{aln（x+1），x≥0}\\{\frac{1}{3}{x}^{3}-ax，x＜0}\end{array}\right.$g（x）=e^x-1，函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））与点（-1，f（-1））处的切线互相垂直，求实数a的值．

Answer 1

分析 求函数的导数，根据切线垂直得到斜率之积为-1，建立方程关系进行求解即可．

解答 解：当x≥0时，函数的导数f′（x）=$\frac{a}{x+1}$，
当x＜0时，函数的导数f′（x）=x²-a，
∵函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））与点（-1，f（-1））处的切线互相垂直，
∴f′（1）f′（-1）=0，
即$\frac{a}{2}$•（1-a）=-1，
得a=2或a=-1．

点评 本题主要考查导数的几何意义，根据直线垂直的等价条件建立方程关系是解决本题的关键．