Question

关于x的二次方程x²+（m-1）x+1=0．
（1）一个根在（0，1）之间，另一个根在（3，4）之间，求实数m的取值范围；
（2）在区间[0，2]上有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：本题（1）根据方程的根的情况与函数的图象关系，得到相应的关系式，解不等式组，得到本题结论；（2）根据方程的根的情况与函数的图象关系，进行分类讨论，得到相应的关系式，解不等式组，得到本题结论．

解答： 解：（1）记f（x）=x²+（m-1）x+1．
∵关于x的二次方程x²+（m-1）x+1=0一个根在（0，1）之间，另一个根在（3，4）之间，
∴

f(0)＞0 f(1)＜0 f(3)＜0 f(4)＞0

，
∴

1＞0 m+1＜0 3m+7＜0 4m+13＞0

，
∴-

13

4

＜m＜-

7

3

，
∴实数m的取值范围为：(-

13

4

，-

7

3

)．
（2）∵关于x的二次方程x²+（m-1）x+1=0在区间[0，2]上有解，
∴f（2）≤0或

f(2)＞0 0＜- m-1 2 ≤2 f(- m-1 2 )≤0

，
∴m≤-

3

2

或

m＞- 3 2 -3≤m＜1 m≤-1或m≥3

，
∴m≤-1．
∴实数m的取值范围为：（-∞，-1]．

点评：本题考查了函数的图理与方程的根据关系，本题难度不大，属于基础题．