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    13．已知$\overrightarrow{a}$=（2cosωx，cosωx），$\overrightarrow{b}$=（cosωx，2$\sqrt{3}$sinωx），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$+m（其中ω＞0，m∈R），且f（x）的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为$\frac{π}{6}$，并过点（0，2）．
    （Ⅰ）求函数f（x）的解析式及其单调增区间；
    （Ⅱ）若对任意x1，x2∈[0，$\frac{π}{2}$]，都有|f（x1）-f（x2）|≤a，求实数a的取值范围．

    分析 （Ⅰ）利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的图象特征，正弦函数的单调性，求得函数f（x）的解析式及其单调增区间．
    （Ⅱ）利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的最大值和最小值，根据函数的恒成立问题的解决方法，求得a的范围．

    解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$+m=2cos2ωx+2$\sqrt{3}$sinωxcosωx=cos2ωx+1+$\sqrt{3}$sin2ωx
    =2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+1 （其中ω＞0，m∈R），
    ∵f（x）的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为$\frac{π}{6}$，
    ∴2ω•$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，∴ω=1，即f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
    显然满足函数的图象过点（0，2）．
    令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，可得函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
    （Ⅱ）若对任意x1，x2∈[0，$\frac{π}{2}$]，都有|f（x1）-f（x2）|≤a，
    则在区间[0，$\frac{π}{2}$]上，函数的最大值减去最小值小于或等于a．
    又在区间[0，$\frac{π}{2}$]上，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
    故函数的最大值为2sin$\frac{π}{2}$+1=2+1=3；最小值为2sin$\frac{7π}{6}$+1=0，
    故a≥3-0=3，即a的范围为[3，+∞）．

    点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的图象特征，正弦函数的单调性．还考查了正弦函数的定义域和值域，函数的恒成立问题，属于中档题．

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