Question

2．2015年4月25日14时11分在尼泊尔（北纬28.2度，东经84.7度）发生8.1级地震，中国政府迅速派出一支救援队，救援队到达地震灾区后，根据灾区的实际情况，确定了1号，2号，3号，4号四个救援区域，并在每个救援区域设立了两个搜救点．
（1）若指挥中心对四个救援区域的8个搜救点随机抽取4个进行检测（每个搜救点被抽到的可能性相同），求这4个被抽取的搜救点来自四个救援区域的概率；
（2）若已知救援队对2号、3号、4号救援区域能检测出生命迹象的概率分别为$\frac{3}{5}$、$\frac{1}{6}$、$\frac{1}{6}$，各救援区检测相互独立，指挥中心从2号、3号、4号三个救援区域的搜救点各抽取一个救援点进行生命检测，求能检测出有生命迹象的搜救点的个数X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （1）先求出基本事件总数n=${C}_{8}^{4}$，再求出这4个被抽取的搜救点来自四个救援区域包含的基本事件个数m=${C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}$，由此能求出这4个被抽取的搜救点来自四个救援区域的概率．
（2）由题意知X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望．

解答 解：（1）指挥中心对四个救援区域的8个搜救点随机抽取4个进行检测（每个搜救点被抽到的可能性相同），
基本事件总数n=${C}_{8}^{4}$=70，
这4个被抽取的搜救点来自四个救援区域包含的基本事件个数m=${C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}$=8，
∴这4个被抽取的搜救点来自四个救援区域的概率p=$\frac{m}{n}=\frac{8}{70}$=$\frac{4}{35}$．
（2）由题意知X的可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=（1-$\frac{3}{5}$）（1-$\frac{1}{6}$）（1-$\frac{1}{6}$）=$\frac{5}{18}$，
P（X=1）=$\frac{3}{5}×（1-\frac{1}{6}）×（1-\frac{1}{6}）$+$（1-\frac{3}{5}）×\frac{1}{6}×（1-\frac{1}{6}）$+$（1-\frac{3}{5}）×（1-\frac{1}{6}）×（1-\frac{1}{6}）$=$\frac{19}{36}$，
P（X=2）=$\frac{3}{5}×\frac{1}{6}×（1-\frac{1}{6}）$+$\frac{3}{5}×（1-\frac{1}{6}）×\frac{1}{6}$+$（1-\frac{3}{5}）×\frac{1}{6}×\frac{1}{6}$=$\frac{8}{45}$，
P（X=3）=$\frac{3}{5}×\frac{1}{6}×\frac{1}{6}$=$\frac{1}{60}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{5}{18}$	$\frac{19}{36}$	$\frac{8}{45}$	$\frac{1}{60}$

E（X）=$0×\frac{5}{18}+1×\frac{19}{36}+2×\frac{8}{45}+3×\frac{1}{60}$=$\frac{14}{15}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．