Question

12．已知（a+2x）（1+$\sqrt{x}$）⁶的展开式的所有项系数的和为192，则展开式中x²项的系数是45．

Answer 1

分析 先求出a=1，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中x²项的系数．

解答 解：令x=1，可得（a+2x）（1+$\sqrt{x}$）⁶的展开式的所有项系数的和为（a+2）•2⁶=192，∴a=1．
∴（a+2x）（1+$\sqrt{x}$）⁶=（1+2x）（1+$\sqrt{x}$）⁶，
而（1+$\sqrt{x}$）⁶ 的展开式的通项公式为T_r+1=${C}_{6}^{r}$•${x}^{\frac{r}{2}}$，
故展开式中x²项的系数是${C}_{6}^{4}$+2${C}_{6}^{2}$=45，
故答案为：45．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．