Question

10．令a_n为（1+x）ⁿ⁺¹的展开式中含x^n-1项的系数，则数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和为$\frac{2n}{n+1}$．

Answer 1

分析 利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数等于n-1，求出a_n；利用裂项求和求出数列的前n项和．

解答 解：∵T_r+1=C_n+1^rx^r，
∴a_n=C_n+1^n-1=C_n+1²=$\frac{n（n+1）}{2}$，
$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+2）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴$\sum_{n=1}^{n}$$\frac{1}{{a}_{n}}$=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{2n}{n+1}$．
故答案为：$\frac{2n}{n+1}$．

点评 本题考查二项展开式的通项公式；本题考查利用裂项求数列的前n项和．