Question

15．若函数f（x）=|x+2|-a|x-1|
（Ⅰ）a=-2时，解不等式f（x）＜6
（Ⅱ）若f（x）≤a|x+5|恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令a=-2，通过讨论x的范围，求出各个区间上的x的范围，取并集即可；（Ⅱ）利用参数分离法，转化为求值函数的最值问题．

解答 解：（Ⅰ）a=-2时，|x+2|+2|x-1|＜6，
x≥1时，x+2+2x-2＜6，解得：x＜2，
-2＜x＜1时，x+2-2x+2＜6，解得：x＞-2，
x≤-2时，-x-2-2x+2＜6，解得：x＞-2，
综上，不等式的解集是（-2，2）；
（Ⅱ）若f（x）≤a|x+5|恒成立，
则|x+2|≤a（|x-1|+|x+5|）恒成立，
即a≥$\frac{|x+2|}{|x-1|+|x+5|}$恒成立，
由|x-1|+|x+5|≥2|x+2|，
得$\frac{|x+2|}{|x-1|+|x+5|}$≤$\frac{|x+2|}{2|x+2|}$=$\frac{1}{2}$，当且仅当x≥1或x≤-5时“=“成立，
故a≥$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查分段函数的应用，根据绝对值不等式的性质将函数表示成分段函数形式是解决本题的关键．考查学生的转化能力．