Question

过三角形OAB的重心G的直线L分别与边OA，OB交于点P，Q，已知

OP

=m倍的

OA

，

OQ

=n倍的

OB

，则（　　）

• A、m+n=

  3

  2

• B、m+n=

  4

  3

• C、

  1

  m

  +

  1

  n

  =

  3

  2

• D、

  1

  m

  +

  1

  n

  =3

Answer 1

考点：向量在几何中的应用

专题：平面向量及应用

分析：根据三角形重心的性质，得

OG

=

1

3

OA

+

1

3

OB

，进而得到

GP

关于向量

OA

、

OB

的表达式，再根据已知条件得

PQ

关于向量

OA

、

OB

的表达式，利用向量共线的条件列式，化简整理可得本题的答案．

解答： 解：∵G是△OAB的重心，
∴点G在△OAB的中线OC上，且

OG

=

2

3

OC

，
∵

OC

=

1

2

（

OA

+

OB

），
∴

OG

=

2

3

×

1

2

（

OA

+

OB

）=

1

3

OA

+

1

3

OB

，
∵

OP

=m

OA

，

OQ

=n

OB

，
∴

PQ

=

OQ

-

OP

=n

OB

-m

OA

，
又∵

GP

=

OP

-

OG

=（m-

1

3

）

OA

-

1

3

OB

，

GP

、

PQ

是共线向量
∴（m-

1

3

）×n=（-m）×（-

1

3

），
整理得

1

m

+

1

n

=3，
故选：D

点评：本题以三角形的重心为载体，求满足条件的一个等式，着重考查了三角形重心的性质和平面向量基本定理等知识，属于基础题．