Question

20．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x＞0}\\{-{x}^{2}-3x-1，x≤0}\end{array}\right.$ 若函数y=f（x）-kx只有2个零点，则实数k的取值范围是（　　）

• A． （-∞，1）
• B． （-∞，e）
• C． （-1，e）
• D． （-1，1）

Answer 1

分析 根据分段函数，分段讨论即可，当x≤0时，由f（x）=kx，根据二次函数的性质求出两个负根的k的取值范围，再求出当x＞0时，指数函数和y=kx没有交点的情况，问题得以解决．

解答 解：∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x＞0}\\{-{x}^{2}-3x-1，x≤0}\end{array}\right.$，
当x≤0时，由f（x）=kx，
得-x²-3x-1=kx，
即x²+（3+k）x+1=0，
∴△=（3+k）²-4＞0，且3+k＞0
解得k≥-1，
此时=f（x）-kx有2个零点，
当x＞0时，函数f（x）=e^x，
f'（x）=e^x∈（1，+∞），
∴要使函数y=f（x）-kx在x＞0时没有零点，
则k＜1，
综上所述-1＜k＜1，
故选：D

点评 本题考查的知识点是函数零点及零点的个数，二次函数的图象和性质，指数型函数的图象和性质，难度中档．