Question

10．已知两定点$M（-\sqrt{6}，0），N（\sqrt{6}，0）$，动点P满足$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}=0$，由点P向x轴作垂线PQ，垂足为Q，点R满足$\overrightarrow{PR}=（\sqrt{3}-1）\overrightarrow{RQ}$，点R的轨迹为C．
（1）求曲线C的方程；
（2）直线l与x轴交于点E，与曲线C交于A、B两点，是否存在点E，使得$\frac{1}{{EA}^{2}}$+$\frac{1}{{EB}^{2}}$为定值？若存在，请指出点E的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设P（x，y），推导出点P的轨迹方程为：x²+y²=6，设R（x₀，y₀），得P（x₀，$\sqrt{3}{y}_{0}$），由此能求出曲线C的方程．
（2）假设存在点E，使得$\frac{1}{E{A}^{2}}$+$\frac{1}{E{B}^{2}}$为定值，设E（x₀，0），推导出E（$±\sqrt{3}，0$），$\frac{1}{{EA}^{2}}$+$\frac{1}{{EB}^{2}}$为定值2，设直线AB的方程为x=my+$\sqrt{3}$，与椭圆C联立方程组，得（m²+3）y²+2$\sqrt{3}my$-3=0，利用韦达定理、椭圆性质，由已知推导出存在点E（$±\sqrt{3}$，0），使得$\frac{1}{{EA}^{2}}$+$\frac{1}{{EB}^{2}}$为定值2．

解答 解：（1）设P（x，y），∵两定点$M（-\sqrt{6}，0），N（\sqrt{6}，0）$，动点P满足$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}=0$，
∴$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$=（-$\sqrt{6}$-x，0-y）•（$\sqrt{6}-x，0-y$）=x²+y²-6=0，
∴点P的轨迹方程为：x²+y²=6，
设R（x₀，y₀），则由$\overrightarrow{PR}=（\sqrt{3}-1）\overrightarrow{RQ}$，得P（x₀，$\sqrt{3}{y}_{0}$），
代入x²+y²=6，得：${{x}_{0}}^{2}+（\sqrt{3}{y}_{0}）^{2}$=6，即$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{6}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}$=1，
∴曲线C的方程为$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$．（5分）
（2）假设存在点E，使得$\frac{1}{E{A}^{2}}$+$\frac{1}{E{B}^{2}}$为定值，设E（x₀，0），
当直线AB与x轴重合时，有$\frac{1}{{EA}^{2}}$+$\frac{1}{{EB}^{2}}$=$\frac{1}{（{x}_{0}+\sqrt{6}）^{2}}$+$\frac{1}{（\sqrt{6}-{x}_{0}）^{2}}$=$\frac{12+2{{x}_{0}}^{2}}{（6-{{x}_{0}}^{2}）^{2}}$，
当直线AB与x轴垂直时，$\frac{1}{{EA}^{2}}$+$\frac{1}{{EB}^{2}}$=$\frac{2}{2（1-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{6}）}$=$\frac{6}{6-{{x}_{0}}^{2}}$，
由$\frac{12+2{{x}_{0}}^{2}}{（6-{{x}_{0}}^{2}）^{2}}$=$\frac{6}{6-{{x}_{0}}^{2}}$，解得${x}_{0}=±\sqrt{3}$，$\frac{6}{6-{{x}_{0}}^{2}}$=2，
所以若存在点E，此时E（$±\sqrt{3}，0$），$\frac{1}{{EA}^{2}}$+$\frac{1}{{EB}^{2}}$为定值2． …（8分）
根据对称性，只需考虑直线AB过点E（$\sqrt{3}$，0），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
又设直线AB的方程为x=my+$\sqrt{3}$，与椭圆C联立方程组，
化简得（m²+3）y²+2$\sqrt{3}my$-3=0，
∴${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{-2\sqrt{3}m}{{m}^{2}+3}$，${y}_{1}{y}_{2}=\frac{-3}{{m}^{2}+3}$，
又$\frac{1}{E{A}^{2}}$=$\frac{1}{（{x}_{1}-\sqrt{3}）^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$=$\frac{1}{{m}^{2}{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$=$\frac{1}{（{m}^{2}+1）{{y}_{1}}^{2}}$，
∴$\frac{1}{{EA}^{2}}$+$\frac{1}{{EB}^{2}}$=$\frac{1}{（{m}^{2}+1）{{y}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{（{m}^{2}+1）{{y}_{2}}^{2}}$=$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-2{y}_{1}{y}_{2}}{（{m}^{2}+1）{{y}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}}$，
将${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{-2\sqrt{3}m}{{m}^{2}+3}$，${y}_{1}{y}_{2}=\frac{-3}{{m}^{2}+3}$，代入，化简，得$\frac{1}{{EA}^{2}}$+$\frac{1}{{EB}^{2}}$=2．
综上所述，存在点E（$±\sqrt{3}$，0），使得$\frac{1}{{EA}^{2}}$+$\frac{1}{{EB}^{2}}$为定值2．…（12分）

点评 本题考查曲线方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是难题，解题时要认真审题，注意椭圆、向量，直线方程、韦达定理等知识点的合理运用．