Question

18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且$\frac{cosA}{a}$+$\frac{cosB}{b}$=$\frac{sinC}{c}$，b²+c²-a²=$\frac{6}{5}$bc，则tanB=（　　）

• A． 4
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{6}{5}$
• D． $\frac{5}{6}$

Answer 1

分析 由$\frac{cosA}{a}$+$\frac{cosB}{b}$=$\frac{sinC}{c}$，利用正弦定理可得：$\frac{cosA}{sinA}$+$\frac{cosB}{sinB}$=1，可得tanB+tanA=tanAtanB．由b²+c²-a²=$\frac{6}{5}$bc，利用余弦定理可得cosA=$\frac{3}{5}$，tanA，进而得出．

解答 解：在△ABC中，由$\frac{cosA}{a}$+$\frac{cosB}{b}$=$\frac{sinC}{c}$，利用正弦定理可得：$\frac{cosA}{sinA}$+$\frac{cosB}{sinB}$=$\frac{sinBcosA+cosBsinA}{sinAsinB}$=1，∴tanB+tanA=tanAtanB．
由b²+c²-a²=$\frac{6}{5}$bc，∴2bccosA=$\frac{6}{5}$bc，化为cosA=$\frac{3}{5}$，∴sinA=$\frac{4}{5}$，tanA=$\frac{4}{3}$．
代入可得：tanB+$\frac{4}{3}$=$\frac{4}{3}$tanB，则tanB=4．
故选：A．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理的应用、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．