Question

2．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且焦距为4$\sqrt{3}$
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于A、B两点，且△AOB的面积为4，其中O为坐标原点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且焦距为4$\sqrt{3}$，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得（4k²+1）x²+8kmx+4m²-16=0，利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且焦距为4$\sqrt{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{2c=4\sqrt{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=4，b=2，
∴椭圆C的方程$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得（4k²+1）x²+8kmx+4m²-16=0，
由△=（8km）²-4（4k²+1）（4m²-16）＞0，得m²＜4+16k²，
${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8km}{4{k}^{2}+1}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-16}{4{k}^{2}+1}$，
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（-\frac{8km}{4{k}^{2}+1}）^{2}-\frac{4（4{m}^{2}-16）}{4{k}^{2}+1}}$=4$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{16{k}^{2}+4-{m}^{2}}}{4{k}^{2}+1}$，
∴△AOB的面积S_△AOB=$\frac{1}{2}$|AB|•$\frac{|m|\sqrt{16{k}^{2}+4-{m}^{2}}}{4{k}^{2}+1}$=2$\sqrt{（4-\frac{{m}^{2}}{4{k}^{2}+1}）•\frac{{m}^{2}}{4{k}^{2}+1}}$，
∴2$\sqrt{（4-\frac{{m}^{2}}{4{k}^{2}+1}）•\frac{{m}^{2}}{4{k}^{2}+1}}$=4，∴m²=2（4k²+1），
由k²≥0，m²≥2，得$m≥\sqrt{2}$或m$≤-\sqrt{2}$，
∴m的取值范围为（-∞，-$\sqrt{2}$]∪[$\sqrt{2}，+∞$）．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式、椭圆性质的合理运用．