Question

7．已知函数f（x）=x³+ax²+1的对称中心的横坐标为x₀（x₀＞0）且f（x）有三个零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，0）
• B． （-∞，-$\frac{3\root{3}{2}}{2}$）
• C． （0，+∞）
• D． （-∞，-1）

Answer 1

分析 判断f（x）的单调性，求出f（x）的极值，令极小值小于零即可求出a的范围．

解答 解：f′（x）=3x²+2ax，令f′（x）=0得x=0或x=-$\frac{2a}{3}$，
∴x₀=-$\frac{a}{3}$＞0，∴a＜0．
∴当x＜0或x＞-$\frac{2a}{3}$时，f′（x）＞0，当0＜x＜-$\frac{2a}{3}$时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，0）上单调递增，在（0，-$\frac{2a}{3}$）上单调递减，在（-$\frac{2a}{3}$，+∞）上单调递增，
∴f（x）的极大值为f（0）=1，极小值为f（-$\frac{2a}{3}$）=$\frac{4{a}^{3}}{27}+1$．
∵f（x）有三个零点，
∴$\frac{4{a}^{3}}{27}+1$＜0．解得a＜-$\frac{3\root{3}{2}}{2}$．
故选B．

点评 本题考查了函数的单调性与极值，函数零点的个数判断，属于中档题．