Question

11．如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直线AB，平面ABCD∩平面ABPE=AB，且AB=BP=2，AD=AE=1，AE⊥AB，且AE∥BP．
（1）设点M为棱PD中点，在面ABCD内是否存在点N，使得MN⊥平面ABCD？若存在，
请证明；若不存在，请说明理由；
（2）求二面角D-PE-A的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连接AC，BD交于点N，连接MN，由已知可证PB⊥平面ABCD，再由三角形中位线可得MN∥PB，进一步得到MN⊥平面ABCD；
（2）以A为原点，AE，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立坐标系，可得平面PEA的法向量，再设平面DPE的法向量，利用向量数量积为0列式求出法向量，求得两个法向量的夹角的余弦值，可得二面角D-PE-A的余弦值．

解答 解：（1）连接AC，BD交于点N，连接MN，则MN⊥平面ABCD．
证明：∵M为PD中点，N为BD中点，
∴MN为△PDB的中位线，则MN∥PB．
又平面ABCD⊥平面ABPE，
平面ABCD∩平面ABPE=AB，BC?平面ABCD，BC⊥AB，
∴BC⊥平面ABPE，则BC⊥PB，
又PB⊥AB，AB∩BC=B，∴PB⊥平面ABCD，
∴MN⊥平面ABCD；
（2）以A为原点，AE，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立坐标系，
∵AD⊥平面PEA，∴平面PEA的法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}=（0，0，1）$，
又D（0，0，1），E（1，0，0），P（2，2，0），
∴$\overrightarrow{DE}=（1，0，-1）$，$\overrightarrow{DP}=（2，2，-1）$，
设平面DPE的法向量为$\overrightarrow{{n}_{2}}=（x，y，z）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{x-z=0}\\{2x+2y-z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得x=1，y=$-\frac{1}{2}$，
∴$\overrightarrow{{n}_{2}}=（1，-\frac{1}{2}，1）$，则cos$＜\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}＞$=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}=\frac{1}{1×\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}$，
又D-PE-A为锐二面角，
∴二面角D-PE-A的余弦值为$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查二面角的平面角及其求法，训练了利用空间向量求二面角的大小，考查计算能力，是中档题．