Question

18．已知抛物线C：y²=4x，F是抛物线C的焦点，过F点的直线l与抛物线C相交于A、B两点，记O为坐标原点．
（Ⅰ）求$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的值；
（Ⅱ）设$\overrightarrow{AF}=λ\overrightarrow{FB}$，当△OAB的面积${S_{△OAB}}=\frac{5}{2}$时，求λ的值．

Answer 1

分析 （I）对AB的斜率进行讨论，根据根与系数的关系计算$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$；
（II）根据三角形的面积得出|y₁-y₂|=5，结合根与系数的关系计算y₁，y₂，于是λ=$\frac{|{y}_{2}|}{|{y}_{1}|}$．

解答 解：（I）F（1，0），
当AB⊥x轴时，AB方程为x=1，∴A（1，2），B（1，-2），
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=1-4=-3．
当AB与x轴不垂直时，设AB方程为y=k（x-1），
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁x₂=1，x₁+x₂=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$．
∴y₁y₂=k²（x₁-1）（x₂-1）=k²x₁x₂-k²（x₁+x₂）+k²=-4．
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=1-4=-3．
综上，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=-3．
（II）∵S_△AOB=$\frac{1}{2}$OF|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$|y₁-y₂|=$\frac{5}{2}$，∴|y₁-y₂|=5．
∴（y₁+y₂）²-4y₁y₂=25，
由（I）可知y₁+y₂=k（x₁-1）+k（x₂-1）=k（x₁+x₂）-2k=$\frac{4}{k}$，
y₁y₂=-4，
∴$\frac{16}{{k}^{2}}$+16=25，∴k²=$\frac{16}{9}$，k=±$\frac{4}{3}$．
当k=$\frac{4}{3}$时，y₁+y₂=3，又y₁y₂=-4，∴y₁=-1，y₂=4，或y₁=4，y₂=-1．
∴λ=$\frac{|{y}_{2}|}{|{y}_{1}|}$=4或$\frac{1}{4}$．
同理，当k=-$\frac{4}{3}$时，λ=4或$\frac{1}{4}$．
综上，λ=4或λ=$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了抛物线的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，属于中档题．