Question

6．如图，三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB=$\frac{π}{2}$，D，E分别为线段AB，BC上的点，CD=DE=$\sqrt{2}$，CE=2EB=2，
（Ⅰ）证明：DE⊥平面PCD；
（Ⅱ）求三棱锥P-ABC的体积．

Answer 1

分析 （I）根据勾股定理得出DE⊥CD，又PC⊥平面ABC得出PC⊥DE，故DE⊥平面PCD；
（II）作DF⊥BC，垂足为F，根据平行线的性质得出比例式计算AC，再代入体积公式计算三棱锥P-ABC的体积．

解答 证明：（I）∵PC⊥平面ABC，DE?平面ABC，
∴PC⊥DE，
∵CD=DE=$\sqrt{2}$，CE=2，
∴CD²+DE²=CE²，∴CD⊥DE，
又PC?平面PCD，CD?平面PCD，PC∩CD=C，
∴DE⊥平面PCD．
解：（II）作DF⊥BC，垂足为F，则DF=$\frac{1}{2}$CE=1，
∵∠ACB=$\frac{π}{2}$，∴DF∥AC，
∴$\frac{DF}{AC}=\frac{BF}{BC}$=$\frac{2}{3}$，∴AC=$\frac{3}{2}$．
∴V_P-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•PC$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3×\frac{3}{2}×3$=$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．