Question

8．设a∈R，函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}（2a+1）{x^2}+bx+d$的图象如图．
（1）已知f′（x）是f（x）的导函数，且$g（x）=\frac{f'（x）}{x}（x≠0）$为奇函数，求a的值；
（2）若函数f（x）在x=2处取得极小值，求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到b=a（a+1），根据函数的奇偶性，求出a的值即可；
（2）求出函数的导数，得到f（x）的单调区间，从而求出函数的极大值和极小值，求出a的值，得到函数的单调区间即可．

解答 解：（1）由题图知d=0，又f'（x）=x²-（2a+1）x+b，（2分）
而方程x²-（2a+1）x+b=0的两个根分别为a，a+1，故b=a（a+1），（3分）
又$g（x）=\frac{f'（x）}{x}=x+\frac{{{a^2}+a}}{x}-（2a+1），\;\;x≠0$，
∵$g（x）=\frac{f'（x）}{x}（x≠0）$为奇函数，
∴?x≠0，g（-x）+g（x）=0，即2a+1=0，
∴$a=-\frac{1}{2}$，∴$b=-\frac{1}{4}$．（6分）
（2）f'（x）=x²-（2a+1）x+（a²+a）=（x-a）[x-（a+1）]，
列表如下：

x	（-∞，a）	a	（a，a+1）	a+1	（a+1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

（9分）
∴f（x）在x=a+1处取得极小值，在x=a处取得极大值，
由题设a+1=2，∴a=1，（11分）
所以函数f（x）的单调递增区间为（-∞，1），（2，+∞）．（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及函数的奇偶性问题，是一道中档题．