Question

17．椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上有两点P，Q，O为原点，连OP，OQ，P，Q中点为M，OP，OQ的斜率之积为-$\frac{1}{4}$．
（1）求点M的轨迹E的方程．
（2）点A（2$\sqrt{2}$，0）过点A作直线AB，AC交曲线E于B，C点，若AB⊥AC，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用参数设出点P，Q的坐标，根据OP，OQ的斜率之积为-$\frac{1}{4}$，可得cos（α-β）=0，确定PQ的中点M的坐标，消去参数，即可求得PQ的中点M的轨迹方程．
（2）设BC方程为my=x+n，利用AB⊥AC，可得BC恒过定点，再求△ABC面积的最大值．

解答 解：（1）设P（4cosα，2sinα），Q（4cosβ，2sinβ）．
∵OP，OQ的斜率之积为-$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{2sinα}{4cosα}×\frac{2sinβ}{4cosβ}$=-$\frac{1}{4}$
∴cos（α-β）=0，
设M（x，y），则x=2cosα+2cosβ，即$\frac{x}{2}$=cosα+cosβ①，y=sinα+sinβ②
∴①²+②²可得：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）BC斜率不为0，∴可设BC方程为my=x+n，
与椭圆联立得：（m²+4）y²-2mny+n²-8=0，
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），所以y₁+y₂=$\frac{2mn}{{m}^{2}+4}$，y₁y₂=$\frac{{n}^{2}-8}{{m}^{2}+4}$，
∴（x₁-2$\sqrt{2}$，y₁）•（x₂-2$\sqrt{2}$，y₂）=5n²+16$\sqrt{2}$n+24=0，
∴n=-2$\sqrt{2}$或-$\frac{4\sqrt{2}}{5}$，
当B为左顶点时，△ABC面积为$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{2}$×|y₁-y₂|=$\frac{16|m|}{{m}^{2}+4}$=$\frac{16}{|m|+\frac{4}{|m|}}$≤$\frac{16}{4}$=4，
当且仅当m=±2时，△ABC面积的最大值为4．

点评 本题考查椭圆的方程，考查轨迹方程，考查参数的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题，正确设出点的坐标是关键．