Question

对于函数f(x)，若存在x₀∈R，使f(x₀)＝x₀成立，则称x₀为f(x)的不动点．已知函数f(x)＝ax²＋(b＋1)x＋(b－1)(a≠0)．

(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的不动点；

(2)若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围．

Answer 1

 (1)f(x)＝x²－x－3，因为x₀为不动点，

因此有f(x₀)＝x－x₀－3＝x₀，所以x₀＝－1或x₀＝3.

所以3和－1为f(x)的不动点．

(2)因为f(x)恒有两个不动点，

f(x)＝ax²＋(b＋1)x＋(b－1)＝x，

ax²＋bx＋(b－1)＝0，

由题设知b²－4a(b－1)>0恒成立，

即对于任意b∈R，b²－4ab＋4a>0恒成立，

所以有(－4a)²－4(4a)<0⇒a²－a<0.所以0<a<1.