【题目】已知函数,
为自然对数的底数.
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)若函数的图象与直线
交于
两点,线段
中点的横坐标为
,证明:
(
为函数
的导函数)
【答案】(Ⅰ)详见解析; (Ⅱ)详见解析
【解析】
试题解析:(Ⅰ)由题可知,然后再,分
,
,
三种情况,进行讨论,由此即可求出结果.(Ⅱ)化简可得
,可得
,当
时,
,
在
上单调递增,与
轴不可能有两个交点,故
.当
时,令
,则
;令
,则
.故
在
上单调递增,在
上单调递减.不妨设
,且
,要证
,需证
,即证
,又
,所以只需证
.即证:当
时,
.然后再构造辅助函数,再利用导数,即可证明结果.
试题解析:解:(1)由题可知,
①当时,令
,则
∴
令,则
∴
②当时,
③当时,令
,则
∴
令,则
∴
综上:①当时,
在
上单调递减,在
上单调递增.当②
时,
在
上单调递增.
③当时,
在
上单调递增,在
上单调递减.
(2)∵
∴,当
时,
,
在
上单调递增,与
轴不可能有两个交点,故
.
当时,令
,则
;令
,则
.故
在
上
单调递增,在上单调递减.不妨设
,且
,要证
,
需证,即证
,
又,所以只需证
.即证:当
时,
.
设
则,∴
在
上
单调递减,又,故
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知点是椭圆
上任一点,点
到直线
的距离为
,到点
的距离为
,且
.直线
与椭圆
交于不同两点
(
都在
轴上方),且
.
(1)求椭圆的方程;
(2)当为椭圆与
轴正半轴的交点时,求直线
方程;
(3)对于动直线,是否存在一个定点,无论
如何变化,直线
总经过此定点?若存在,求出该定点的坐标;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】我国古代数学名著《续古摘奇算法》(杨辉)一书中有关于三阶幻方的问题:将1,2,3,4,5,6,7,8,9分别填入的方格中,使得每一行,每一列及对角线上的三个数的和都相等,我们规定:只要两个幻方的对应位置(如每行第一列的方格)中的数字不全相同,就称为不同的幻方,那么所有不同的三阶幻方的个数是( )
8 | 3 | 4 |
1 | 5 | 9 |
6 | 7 | 2 |
A. 9 B. 8 C. 6 D. 4
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆C: 的离心率为
,短轴的一个端点到右焦点的距离为
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为,求△AOB面积的最大值,并求此时直线l的方程.
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