Question

如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域．用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头A所指区域的数字就是每次游戏所得的分数（箭头指向两个区域的边界时重新转动），且箭头A指向每个区域的可能性都是相等的．在一次家庭抽奖的活动中，要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后分别转动一次游戏转盘，得分情况记为（a，b）（假设儿童和成人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动）．
（Ⅰ）求某个家庭得分为（5，3）的概率；
（Ⅱ）若游戏规定：一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和，且得分大于等于8的家庭可以获得一份奖品．求某个家庭获奖的概率；
（Ⅲ）若共有4个家庭参加家庭抽奖活动．在（Ⅱ）的条件下，记获奖的家庭数为X，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,等可能事件的概率,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）记事件A：某个家庭得分情况为（5，3）．由等可能求件的概率计算公式能求出某个家庭得分为（5，3）的概率．
（Ⅱ）记事件B：某个家庭在游戏中获奖，则符合获奖条件的得分包括（5，3），（5，5），（3，5）共3类情况．由此能求出某个家庭获奖的概率．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，每个家庭获奖的概率都是

1

3

，X～B（4，

1

3

），由此能求出X的分布列及数学期望．

解答： 解：（Ⅰ）记事件A：某个家庭得分情况为（5，3）．
P（A）=

1

3

×

1

3

=

1

9

．
所以某个家庭得分情况为（5，3）的概率为

1

9

．…（2分）
（Ⅱ）记事件B：某个家庭在游戏中获奖，
则符合获奖条件的得分包括（5，3），（5，5），（3，5）共3类情况．
所以P（B）=

1

3

×

1

3

+

1

3

×

1

3

+

1

3

×

1

3

=

1

3

所以某个家庭获奖的概率为

1

3

．…（4分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，每个家庭获奖的概率都是

1

3

，
∴X～B（4，

1

3

）…（5分）
P（X=0）=（

2

3

）⁴=

16

81

，P（X=1）=

C

1 4

(

1

3

)(

2

3

)3=

32

81

，
P（X=2）=

C

2 4

(

1

3

)2(

2

3

)2=

24

81

，
P（X=3）=

C

3 4

(

1

3

)3(

2

3

)=

8

81

，
P（X=4）=(

1

3

)4=

1

81

，…（10分）
∴X分布列为：

X	0	1	2	3	4
P	16 81	32 81	24 81	8 81	1 81

EX=np=4×

1

3

=

4

3

．…（12分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．