Question

函数f（x）=kx-lnx（k为常数，且k＞0），若方程f′（x）•（k-

1

f(x)

）=0有唯一的实根x₀，则k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：

分析：f′(x)=k-

1

x

，则方程f′（x）•（k-

1

f(x)

）=0有唯一的实根x₀，即(k-

1

x

)•(k-

1

kx-lnx

)=0有唯一的实根x₀，分类讨论：kx-lnx=x=

1

k

，解得k．k-

1

x

=0，k-

1

kx-lnx

≠0，解出即可．

解答： 解：f′(x)=k-

1

x

，
∴方程f′（x）•（k-

1

f(x)

）=0有唯一的实根x₀，即(k-

1

x

)•(k-

1

kx-lnx

)=0有唯一的实根x₀，
分类讨论：①kx-lnx=x=

1

k

，解得k=1．
②k-

1

x

=0，k-

1

kx-lnx

≠0，∴ln

1

k

≠1-

1

k

，
当k＞1时，0＜

1

k

＜1，ln

1

k

＜0，1-

1

k

＞0，ln

1

k

≠1-

1

k

，因此k＞1满足题意．
当0＜k＜1时，

1

k

＞1，ln

1

k

＞0，1-

1

k

＜0，ln

1

k

≠1-

1

k

，因此0＜k＜1满足题意．
综上可得：k＞0．

点评：本题考查了导数的应用、函数的单调性与函数零点的关系，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．