Question

已知分别为椭圆的上下焦点，其中也是抛物线的焦点，点是与在第二象限的交点，且.
（1）     求椭圆的方程；（5分）
（2）     已知点和圆，过点的动直线与圆相交于不同的两
点，在线段上取一点,满足且.
求证：点总在某定直线上.（7分）

Answer 1

（1）（2）见解析

(I)根据抛物线的焦点坐标可求出c值，然后利用和抛物线的焦半径公式求出点M的坐标，根据点M在椭圆上，建立方程可求出椭圆的标准方程.
（3）     证明点Q总在一条直线上，就是证明点Q的坐标总是满足某条直线方程，设，由和可得四个方程，然后再结合点A、B都在圆上，对四个方程进行变形求解
（1）由知，，设，因在抛物线上，故，又，则，得，而点
在椭圆上，有，又，所以椭圆方程为 （5分）
（2）设，由,得，即  ①    ②
由，得 ③   , ④ -------- （7分）
①③,得 , ②④,得 -----（9分）
两式相加得 ,又点在圆
上,由(1)知,即在圆上,且,
（4）      ,即,点总在定直线上