Question

已知函数f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab的零点是-3和2．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）当函数f（x）的定义域是[0，1]时，求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据函数的零点和方程根的基本关系可知-3和2就是方程ax²+（b-8）x-a-ab=0的两个根，再由韦达定理可得到a，b的值，进而可求出函数f（x）的解析式．
（Ⅱ）先求出一元二次函数的对称轴，再由一元二次函数的性质可得到函数在[0，1]的值域，进而可得到函数f（x）的最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）-3和2就是方程ax²+（b-8）x-a-ab=0的两个根，由韦达定理
-

b-8

a

=-3+2=-1  解得b-8=a

-a-ab

a

=-1-b=-3×2=-6，解得b=5；
代入上面可知a=-3
所以f（x）=-3x²-3x-12
（Ⅱ）当f（x）=-3（x²+x+4）  对称轴为x=-

1

2

不在区间[0，1]内，所以函数在[0，1]内为单调函数
∵f（0）=-12       f（1）=-18
所以函数在[0，1]内的值域为[-18，-12]
∴函数f（x）的最大值是18，最小值是12．

点评：本题主要考查函数的零点和方程根的基本关系和一元二次方程的韦达定理的应用以及一元二次函数的最值问题．