【题目】在极坐标系中,点的极坐标是,曲线的极坐标方程为.以极点为坐标原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,斜率为的直线经过点.
(1)若时,写出直线和曲线的直角坐标方程;
(2)若直线和曲线相交于不同的两点,求线段的中点的在直角坐标系中的轨迹方程.
【答案】(1);(2),
【解析】
(1)利用极坐标和直角坐标的互化公式即可得解;
(2)方法一:设直线的参数方程为:(为参数)与曲线的方程联立,根据参数的几何意义求得,代入直线方程求得化简消参即可得出结果.
方法二: 由于直线的斜率存在,设直线,与曲线方程联立,根据韦达定理可得,代入直线求得,化简可得,即可得出结果.
解:(1)点的直角坐标为,所以直线
,可得,
即
(2)如图可知,直线和圆相切时,.
方法一:设直线的参数方程为:(为参数)
由于直线和曲线相交,所以
联立直线和曲线的方程可得
所以,即
因此,其中
即点的轨迹方程为,
方法二:显然直线的斜率存在,不妨设为,即直线,
与联立可得:,
,可以解得,即:
设,,所以,所以,
可得
所以
另一方面,由于,所以
综上,点的轨迹方程为,
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【题目】已知数列的各项均为非零实数,其前项和为,且.
(1)若,求的值;
(2)若,求证:数列是等差数列;
(3)若,,是否存在实数,使得对任意正整数恒成立,若存在,求实数的取值范围,若不存在,说明理由.
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【题目】已知某校高三年级有1000人参加一次数学模拟考试,现把这次考试的分数转换为标准分,标准分的分数转换区间为,若使标准分X服从正态分布N,则下列说法正确的有( ).
参考数据:①;②;③
A.这次考试标准分超过180分的约有450人
B.这次考试标准分在内的人数约为997
C.甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为
D.
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【题目】抛物线,为直线上的动点,过点作抛物线的两条切线,切点分别为,.
(1)证明:直线过定点;
(2)若以为圆心的圆与直线相切,且切点为线段的中点,求该圆的面积.
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【题目】设函数,,给定下列命题:
①若方程有两个不同的实数根,则;
②若方程恰好只有一个实数根,则;
③若,总有恒成立,则;
④若函数有两个极值点,则实数.
则正确命题的个数为( )
A. B. C. D.
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【题目】我国是世界第一产粮大国,我国粮食产量很高,整体很安全按照14亿人口计算,中国人均粮食产量约为950斤﹣比全球人均粮食产量高了约250斤.如图是中国国家统计局网站中2010﹣2019年,我国粮食产量(千万吨)与年末总人口(千万人)的条形图,根据如图可知在2010﹣2019年中( )
A.我国粮食年产量与年末总人口均逐年递增
B.2011年我国粮食年产量的年增长率最大
C.2015年﹣2019年我国粮食年产量相对稳定
D.2015年我国人均粮食年产量达到了最高峰
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