【题目】已知数列的各项均为非零实数,其前项和为,且.
(1)若,求的值;
(2)若,求证:数列是等差数列;
(3)若,,是否存在实数,使得对任意正整数恒成立,若存在,求实数的取值范围,若不存在,说明理由.
【答案】(1)(2)见解析(3)不存在满足条件的实数,见解析
【解析】
(1)由题得,所以,得,即得的值;
(2)利用累乘法得到,所以数列是等差数列,首项为,公差为,求出,,所以,再证明数列是等差数列;
(3)原题等价于,不妨设,即对任意正整数()恒成立,即对任意正整数恒成立,再证明当且时,,即得解.
(1)解:由,令,得,
因为数列的各项均为非零实数,所以,
所以,
所以.
(2)证明:由得:
,……,,相乘得:,
因为数列的各项均为非零实数,所以,
当时:,所以,
即,
即,
因为,所以,
所以数列是等差数列,首项为,公差为,
所以,所以,
所以,,所以,
所以,所以数列是等差数列.
(3) 解:当,时,由(2)知,所以,即,
不妨设,则,,所以,
即对任意正整数()恒成立,
则,即对任意正整数恒成立,
设,
时,;时,;
时,;时,;
时,;
当时,,
所以时,.
所以时,,
令或(舍去).
所以当且时,,
所以不存在满足条件的实数.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线过点,倾斜角为.以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程.
(1)写出直线的参数方程及曲线的直角坐标方程;
(2)若与相交于,两点,为线段的中点,且,求.
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【题目】如图,在边长等于2正方形中,点Q是中点,点M,N分别在线段上移动(M不与A,B重合,N不与C,D重合),且,沿着将四边形折起,使得面面,则三棱锥体积的最大值为________;当三棱锥体积最大时,其外接球的表面积为________.
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【题目】生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人,这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系,具体包括“礼、乐、射、御、书、数”. 为弘扬中国传统文化,某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座,每艺安排一节,连排六节,则满足“数”必须排在前两节,“礼”和“乐”必须相邻安排的概率为( )
A.B.C.D.
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【题目】在直角坐标系xOy上取两个定点A1(,0),A2(,0),再取两个动点N1(0,m),N2(0,n),且mn=2.
(1)求直线A1N1与A2N2交点M的轨迹C的方程;
(2)过R(3,0)的直线与轨迹C交于P,Q,过P作PN⊥x轴且与轨迹C交于另一点N,F为轨迹C的右焦点,若(λ>1),求证:.
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【题目】已知椭圆的左顶点为A,O为坐标原点,,C的离心率为.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)已知不经过点A的直线交椭圆C于M,N两点,线段MN的中点为B,若,求证:直线l过定点.
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【题目】平面直角坐标系中,已知直线的参数方程为(s为参数),以坐标原点为极点,以x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为,,直线与曲线C交于A,B两点.
(Ⅰ)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(Ⅱ)已知点P的极坐标为,求的值.
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【题目】在极坐标系中,点的极坐标是,曲线的极坐标方程为.以极点为坐标原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,斜率为的直线经过点.
(1)若时,写出直线和曲线的直角坐标方程;
(2)若直线和曲线相交于不同的两点,求线段的中点的在直角坐标系中的轨迹方程.
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