Question

【题目】在直角坐标系xOy上取两个定点A1（，0），A2（，0），再取两个动点N1（0，m），N2（0，n），且mn＝2.

（1）求直线A1N1与A2N2交点M的轨迹C的方程；

（2）过R（3，0）的直线与轨迹C交于P，Q，过P作PN⊥x轴且与轨迹C交于另一点N，F为轨迹C的右焦点，若（λ＞1），求证：.

Answer 1

【答案】（1）1（x≠±）；（2）证明见解析

【解析】

（1）根据题意先写出两直线的方程，再根据条件化简即可求得答案；

（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），设l：x＝ty+3，联立直线与椭圆的方程，由韦达定理得y1+y2且y1y2，根据题意得 x1﹣3＝λ（x2﹣3），y1＝λy2，再代入即可证明结论．

（1）解：依题意知直线A1N1的方程为：y（x）…①；

直线A2N2的方程为：y（x）…②

设Q（x，y）是直线A1N1与A2N2交点，①、②相乘，得y2（x2﹣6）

由mn＝2整理得：1

∵N1、N2不与原点重合，可得点A1，A2不在轨迹M上，

∴轨迹C的方程为1（x≠±）；

（2）证明：设l：x＝ty+3，代入椭圆方程消去x，得（3+t2）y2+6ty+3＝0.

设P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x1，﹣y1），可得y1+y2且y1y2，

，可得（x1﹣3，y1）＝λ（x2﹣3，y2），∴x1﹣3＝λ（x2﹣3），y1＝λy2，

证明，只要证明（2﹣x1，y1）＝λ（x2﹣2，y2），∴2﹣x1＝λ（x2﹣2），

只要证明，只要证明2t2y1y2+t（y1+y2）＝0，

由y1+y2且y1y2，代入可得2t2y1y2+t（y1+y2）＝0，

∴．