【题目】已知动圆过点
且与直线
相切.
(1)求圆心的轨迹
的方程;
(2)过的直线与
交于
,
两点,分别过
,
做
的垂线,垂足为
,
,线段
的中点为
.
①求证:;
②记四边形,
的面积分别为
,
,若
,求
.
【答案】(1)(2)①证明见解析;②
【解析】
(1)根据抛物线的定义得到点的轨迹是以
为焦点,
为准线的抛物线,进而求得方程;
(2)①设,
,则
,
,得到
,设直线
的方程为
,与
联立,分
,
两种情况,结合直线垂直的条件证得结果;
②根据三角形的面积比,得到坐标比,结合①,从而得到,得到结果.
(1)∵动圆过点
且与直线
相切,
∴点到
的距离等于
到
的距离,
∴点的轨迹是以
为焦点,
为准线的抛物线,其方程为
.
(2)①证法一:设,
,则
,
,
∵为线段
的中点,∴
,
依题意可设直线的方程为
,
由得
,
,
,
,
∴,
当时,
,
关于
轴对称,点
恰为
与
轴的交点,满足
;
当时,
,∴
,∴
,
综上,.
证法二:连接,
,设直线
与
轴的交点为
,
∵轴,
,∴
,
同理,,
∴,
∴,
又,
,∴
,
∴,即
.
②法一:由得
,
同理,≌
,
故,
由知
,
异号,故
,
∴,
,
∴.
法二:由得
,
同理,
故,
由对称性,不妨设点在
轴上方,直线
的倾斜角为
,
由定义易得,
∴,同理
,
∴,即
,
∴.
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【题目】已知,点
在
轴上,点
在
轴上,且
,
,当点
在
轴上运动时,动点
的轨迹为曲线
.过
轴上一点
的直线交曲线
于
,
两点.
(1)求曲线的轨迹方程;
(2)证明:存在唯一的一点,使得
为常数,并确定
点的坐标.
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【题目】在直角坐标系xOy上取两个定点A1(,0),A2(
,0),再取两个动点N1(0,m),N2(0,n),且mn=2.
(1)求直线A1N1与A2N2交点M的轨迹C的方程;
(2)过R(3,0)的直线与轨迹C交于P,Q,过P作PN⊥x轴且与轨迹C交于另一点N,F为轨迹C的右焦点,若(λ>1),求证:
.
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【题目】一个笼子里关着只猫,其中有
只白猫,
只黑猫.把笼门打开一个小口,使得每次只能钻出
只猫.猫争先恐后地往外钻.如果
只猫都钻出了笼子,以
表示
只白猫被
只黑猫所隔成的段数.例如,在出笼顺序为“□■□□□□■□□■”中,则
.
(1)求三只黑猫挨在一起出笼的概率;
(2)求的分布列和数学期望.
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【题目】已知椭圆的左顶点为A,O为坐标原点,
,C的离心率为
.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)已知不经过点A的直线交椭圆C于M,N两点,线段MN的中点为B,若
,求证:直线l过定点.
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【题目】过去五年,我国的扶贫工作进入了“精准扶贫”阶段.目前“精准扶贫”覆盖了全部贫困人口,东部帮西部,全国一盘棋的扶贫格局逐渐形成.到2020年底全国830个贫困县都将脱贫摘帽,最后4335万贫困人口将全部脱贫,这将超过全球其他国家过去30年脱贫人口总和.2020年是我国打赢脱贫攻坚战收官之年,越是到关键时刻,更应该强调“精准”.为落实“精准扶贫”政策,某扶贫小组,为一“对点帮扶”农户引种了一种新的经济农作物,并指导该农户于2020年初开始种植.已知该经济农作物每年每亩的种植成本为1000元,根据前期各方面调查发现,该经济农作物的市场价格和亩产量均具有随机性,且两者互不影响,其具体情况如下表:
该经济农作物亩产量(kg) | 该经济农作物市场价格(元/kg) | |||||
概率 | 概率 |
(1)设2020年该农户种植该经济农作物一亩的纯收入为X元,求X的分布列;
(2)若该农户从2020年开始,连续三年种植该经济农作物,假设三年内各方面条件基本不变,求这三年中该农户种植该经济农作物一亩至少有两年的纯收入不少于16000元的概率;
(3)2020年全国脱贫标准约为人均纯收入4000元.假设该农户是一个四口之家,且该农户在2020年的家庭所有支出与其他收入正好相抵,能否凭这一亩经济农作物的纯收入,预测该农户在2020年底可以脱贫?并说明理由.
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【题目】如图,在棱长为2的正方体中,
分别是棱
的中点,
是底面
内一动点,若直线
与平面
不存在公共点,以下说法正确的个数是( )
①三棱锥的体积为定值;
②的面积的最小值为
;
③平面
;
④经过三点的截面把正方体分成体积相等的两部分.
A.B.
C.
D.
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